διώνυμο

Το άθροισμα δύο μονώνυμων (πρόκειται δηλαδή για ένα πολυώνυμο μόνο με δύο όρους), παραδείγματος χάριν, α + β, όπου α, β είναι μονώνυμα. Αν ν είναι φυσικός αριθμός, ιδιαίτερα μεγαλύτερος ή ίσος του 2, προκύπτει το πρόβλημα: να εκφραστεί ως πολυώνυμο των α, β η δύναμη (α + β)^ν. Ισχύει ο εξής τύπος του δ. του Νεύτωνα: Ο τύπος αυτός φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και από τον Ιταλό μαθηματικό Ταρτάλια. Ο παραπάνω τύπος (1) ονομάζεται επίσης διωνυμικός τύπος και το β’ μέλος του διωνυμικό ανάπτυγμα. Κάθε συντελεστής στο διωνυμικό ανάπτυγμα ονομάζεται διωνυμικός συντελεστής. Ο γενικός διωνυμικός συντελεστής: αν τεθεί: κ! = 1 . 2 ... κ διά κ = 2, 3, ... και 0! = 1! = 1, μπορεί να γραφεί: ν_κ = ν!/κ!(ν-κ)! Αυτός o τύπος δίνει για κ = 0, 1, 2, ... ν τους συντελεστές στο διωνυμικό ανάπτυγμα (1). Αξιοσημείωτο είναι ότι ισχύουν: i) το πλήθος των όρων του διωνυμικού αναπτύγματος (1) είναι ν + 1 ii) ν_κ = v_v-κ, δηλαδή κάθε δύο συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος, που ισαπέχουν από τους άκρους όρους του, είναι ίσοι μεταξύ τους. iii) το άθροισμα ν₀ + ν₁ + ... + ν_ν, των συντελεστών του διωνυμικού αναπτύγματος είναι 2^ν (όπως προκύπτει από τον τύπο (1), αν τεθεί: α = β = 1). O τύπος (1) γενικεύεται με κατάλληλους περιορισμούς για τα α, β με τον ν τυχόντα πραγματικό αριθμό. Τότε το ανάπτυγμα (α + β)^ν είναι μία δυναμοσειρά (του α είτε του β), που οι συντελεστές της κατασκευάζονται με τον ίδιο τρόπο, όπως και στον τύπο (1). Έτσι, για παράδειγμα, αν |x| < 1, ισχύει: (1 + x)^v = 1 + ν₁x + ν₂x² + ... + ν_κx^κ + …, όπου Για παράδειγμα δηλαδή: